【应用笔记：在统一的现金流框架下分析提前还款、逾期等信用风险】

1. 前言

在过去的应用笔记中，对借款人违约行为的假设是发生违约后就不再还款。实际上，违约可以是暂时的。借款人逾期后，在催收提醒下可能最终会还款。加上催收回款后，借款人所有可能的违约行为都已经纳入考虑，现在需要在一个统一的框架下计量和考察这些违约行为。

分期借款，就是对借款人未来一部分现金流的支配。借款人的现金流和分期计划不匹配，就会使还款时间产生偏移，表现为信用风险。换言之借款人的违约是流动性与分期计划不匹配导致的。

借款人所有可能的违约行为有三种：提前还款、催收回款（逾期后仍然归还了欠款）、坏账（逾期后不再还款）。这三种行为对出借人的影响是不同的，大致如下：

  • 提前还款：不损失本金，损失利息。
  • 催收回款：不损失本金，获得额外利息。
  • 坏账：损失本金，损失利息。

本篇笔记中将拆分借款人的现金流，从而拆分现金流不匹配性造成的影响。分解的各种现金流的大小（包括时点余额和时间段内的流量），就是对借款人不同违约行为强度的指标，也是借款人现金流和分期计划现金流不匹配程度的度量。

2. 假设与前提条件

对借款信用风险，有以下假设：

  1. 借款可能在任意时间提前还款，催收回款，或者逾期后不再还款（坏账）。还款顺序是利息->逾期时间长的本金->逾期时间短的本金。
  2. 利息的计算规则是按照资金实际占用期限和日利率计算。逾期后继续按未还款余额以含罚息利率按日计息。
  3. 除了按日计息的资金时间价值，不考虑其他成本和收入，例如提前还款违约金等。

3. 现金流与流动性

AN4最后一节首先区分出了提前还款现金流，这个现金流对应的余额是提前还款余额(t)，代表了实际生息余额与分期计划的余额之间的差值，因为提前还款会导致后续一段时间的实际生息余额小于计划的余额，所以差值会因提前还款而大于0。

剩下两种违约也有对应的现金流:

  • 催收回款现金流的余额是催收回款余额(t)，代表了应还时间在t时之前的本金在t时之后才还款。这个余额加到分期计划余额上才是实际生息余额。
  • 坏账现金流对应坏账余额(t) = 未到期坏账余额(t) + 已到期坏账余额(t)。未到期部分是最终成为坏账但t时未到应还时间的余额，已到期部分是最终成为坏账而且t时已到应还时间的余额。

任意时刻t时的实际生息余额(t)可以分解为：

实际生息余额(t) = 分期计划余额(t) - 提前还款余额(t) + 催收回款余额(t) - 未到期坏账余额(t)

任意时刻t时的账面余额(t)可以分解为：

账面余额(t) = 分期计划余额(t) - 提前还款余额(t) + 催收回款余额(t) + 已到期坏账余额(t)

这几种不同的余额分解了借款人不同的违约行为，以下是几个例子。

  • 如果借款人没有任何违约行为，那么实际生息余额(t) = 分期计划余额(t)。提前还款余额(t)、催收回款余额(t)、坏账余额(t)全部恒等于0。
  • 如果借款人没有提前还款行为，那么提前还款余额(t)恒等于0。
  • 如果借款人没有逾期行为，那么催收回款余额(t)和坏账余额(t)恒等于0。
  • 如果借款人有逾期行为，但是最终还清了所有欠款，那么坏账余额(t)恒等于0。
  • 如果借款人逾期后再也没有还款，那么催收回款余额(t)恒等于0。

通过对这些余额的分析，可以精确计算本金和利息的收益与损失，并把损失分解到借款人的三种违约行为上：

  • 催收回款的超额利息收入等于罚息日利率 × Σt0..t1催收回款余额(t)
  • 总利息收入等于日利率 × Σt0..t1实际生息余额(t) + 罚息日利率 × Σt0..t1催收回款余额(t)
  • 提前还款导致的利息损失等于日利率 × Σt0..t1提前还款余额(t)
  • 坏账本金损失等于坏账余额(t)

因为现金流在t时的余额是未来所有现金流本金部分的和Στ>t现金流(τ)，所以已知余额(⋅)时，现金流(t)可以用余额(t) - 余额(t-1)计算，例如：

  • 实际放款还款还款本金账面现金流(t) = 账面余额(t) - 账面余额(t-1)
  • 分期计划现金流(t) = 分期计划余额(t) - 分期计划余额(t-1)
  • 提前还款现金流(t) = -提前还款余额(t) - (-提前还款余额(t-1))
  • 催收回款现金流(t) = 催收回款余额(t) - 催收回款余额(t-1)
  • 坏账现金流(t) = 坏账余额(t) - 坏账余额(t-1)

以上现金流中，负数代表借款人（债务人）向出借方（债权人）支付的现金流量，正数代表出借方（债权人）向借款人（债务人）支付的现金流量。现金流数值的正负也是现金流的正负方向，有以下业务意义：

  • 分期计划现金流(t)正向现金流（正数）是发放贷款本金的流量，反向现金流（负数）是应还本金的流量。
  • -提前还款现金流(t)正向现金流是被提前还款的应还本金的流量，反向现金流是提前还款本金的流量。
  • 催收回款现金流(t)正向现金流是新增违约本金的流量，反向现金流是回款本金的流量。
  • 坏账现金流(t)正向现金流是本金坏账损失的流量，按照定义不会出现反向现金流。

时间区间t0..t1的现金流是每日现金流的和：现金流(t0..t1) = Σt0..t1余额(t)-余额(t-1)

久期包含了余额在时间轴上变化的信息，现金流除了有流量属性，还有久期属性，流量 × 久期等于这笔现金流的年日日均余额。例如：

  • 应收利息等于日利率 × 分期计划负向现金流(t0..t1) × 分期计划负向现金流久期(t0..t1)，其中分期计划负向现金流(t0..t1)就是t0..t1期间还款计划应还本金总额。
  • 提前还款导致的利息损失等于日利率 × 提前还款负向现金流(t0..t1)×提前还款负向现金流久期(t0..t1)。

以上几种余额或现金流中，有的必须经过一段时间的表现期才能知道过去某一刻的值，有的则可以提前知道未来的值：

  • 分期计划余额(t)

    • 在任意时间t0时，都可以确定过去或未来任何时刻t的分期计划余额(t)。

  • 提前还款余额(t)

    • 在任意时间t0时，都可以确定实时t=t0以及过去t<t0的提前还款余额(t)。
    • 因为被提前还款的是未来的分期计划，所以还可以确定未来t0<t<t1一段时间内提前还款余额(t)的下界提前还款余额(t|t0)。因为未来可能发生新的提前还款，所以在过去只知道下界。

  • 催收回款余额(t)

    • 在任意时间t0时，不可能知道实时的值，因为只有未来借款人还上欠款后，才能知道当前违约的余额中多少该计入催收回款，多少该计入坏账余额。
    • 但是t=t0时可以知道催收回款余额(t0)的上界催收回款余额(t0|t0)，因为需要催收回款的金额不超过违约金额，所以这个上界就是t0时刻的到期未还金额（等于入催金额，而不是逾期金额）。
    • 催收回款余额(t0)的下界始终是0，因为借款人可以永远不归还欠款。

  • 坏账余额(t)

    • 在任意时间t0时，不可能知道实时的值，因为还未到还款日时，不能确定借款人会不会违约，而且只有未来确定借款人永远不会不归还欠款，才能知道当前违约的余额中多少该计入坏账余额，多少该计入催收回款余额。
    • 但是t=t0时坏账余额(t0)的上界坏账余额(t0|t0)始终等于账面余额(t)，下界始终是0，因为借款人可以在未来归还全部欠款。
    • 实际上，可以为坏账时间划定一个范围，如逾期180天以上就计入坏账余额，未来有还款，也只减少坏账余额，而不把这笔还款计入催收回款余额。

虽然以上几种余额中有的不能实时得到准确的值，但只不过是将最新的信息分布在的时间轴上，带有时间轴的现金流或余额时间序列仍然包含了截至当下的全部信息。因此，单独看某一时刻的余额意义有限，需要考虑整个时间轴上的现金流，或同时考虑现金流的流量与久期。

对不确定的值，实际上可以知道上下界，代表了基于当前信息对未来能达到的最准确的估计。如果对借款人的违约行为有更多假设，还可以进一步收缩上下界的范围。

4. 示例

对一个本金10000元，年化利率18%，分12期的借款，假设2041-01-15放款，还款计划如下：

计划还款日   当期总金额  当期本金  当期利息
2041-02-15	916.44	763.57	152.87
2041-03-15	916.44	788.90	127.54
2041-04-15	916.44	787.30	129.14
2041-05-15	916.44	803.11	113.33
2041-06-15	916.44	811.61	104.83
2041-07-15	916.44	827.00	89.44
2041-08-15	916.44	836.66	79.78
2041-09-15	916.44	849.46	66.98
2041-10-15	916.44	864.18	52.26
2041-11-15	916.44	875.65	40.79
2041-12-15	916.44	889.92	26.52
2042-01-15	916.44	902.64	13.8

应还利息总和为997.28，整笔借款的久期为997.28/10000.0/0.18 = 0.554。

如果借款人按照以下方式还款：

实际还款日   实际还款金额  还款本金  还款利息
2041-02-15	916.44	763.57	152.87
2041-03-15	916.44	788.90	127.54
2041-04-15	667.12	537.98	129.14
2041-07-09	5000.00	4668.45	331.55
2041-10-15	729.54	572.90	156.64
2041-11-15	916.44	875.65	40.79
2041-12-15	354.02	327.50	26.52

实际还款金额为9500.00，其中本金8534.95，利息965.05，2041-04-15开始逾期，但是2041-07-09归还了欠款，并提前还款了一部分，但是2041-12-15开始继续逾期，之后再也没有归还欠款。这几种违约行为对应余额如下图所示。可见按照违约行为分解余额后，不仅可以知道违约行为发生的时间，还可以直观显示违约行为在具体每个时刻造成了多大的影响。

5. 与传统风险指标的关系

5.1 逾期余额

因为借款进入逾期状态后，全部余额被分类为逾期余额，实际上，逾期余额由多个部分构成：

逾期余额(t) = 催收回款余额(t) + 已到期坏账余额(t) + 未到期坏账余额(t)

其中催收回款余额(t)最终不会损失。

5.2 最终vintage指标

最终vintage指标是放款本金中最终无法收回的本金的比例，无法收回的本金是全部正向现金流的和，而放款本金就是分期计划的正向现金流。

最终vintage指标 = 坏账正向现金流(t0..t1) / 分期计划正向现金流(t0..t1)

5.3 1

6. 应用1：催收效率

传统上衡量催收效率的指标是M1回款率、M2回款率、M3回款率……这里回款率分子分母假设都是本金金额，分母是入催现金流量，分子是催收回款现金流量。不过催收回款现金流的久期近似是((1/12) × M1回款金额 + (2/12) × M2回款金额 + ……)/总回款金额，因此催收回款越快，催收回款现金流的久期越短。比起各期回款率分布，催收回款久期是一个直接反映总体回款速度的指标。而催收回款余额的大小则反映了当前逾期余额中，多大比例实际上是能回收的。

因为年催收回款本金 = 平均催收回款本金余额 / 催收回款平均久期，可见久期和余额的指标将催收效率分解为了“催回的速度”和“催回的比例”两个因素。在传统M1回款率等指标中，这两个因素是混合在一起的。

如果要最大化催收回款的收益，需要最大化催收回款余额。因为催收回款平均余额 = 催收回款现金流量 * 催收回款平均久期，余额可以近似为：

催收回款平均余额 = ((1/12) × M1回款率 × M1余额 + (2/12) × M2回款率 × M2余额 + ……)

因为各逾期阶段余额M1余额等并非催收效率可以控制，因此对回款率求导，可得：∂平均余额 / ∂Mn回款率 = n/12。从求导的结果可知，在越大的逾期阶段上，催收回款率对平均余额的影响越大。更大逾期阶段的回款率提高一个百分点，比较小逾期阶段回款率提高一个百分点，增大催收回款余额的效果更大（当然提高更大逾期阶段的回款率的成本可能也高出很多倍）。

  1. 待更新 ↩︎