【应用笔记：大多数时候，vintage曲线的形状不是抛物想，而是三次曲线】

1. 前言

AN3说明了借款人在各还款期发生违约的概率大致相等时，vintage曲线具有抛物线的形状。AN5改进了违约概率的假设，结果是使用存在噪声的评分卡筛选借款人后，通过筛选的借款人违约概率随账龄逐渐增大。

下面将以逐渐增大的违约概率为基础，解释vintage曲线的形状，并分析收益情况。

2. 假设与前提条件

对借款信用风险，有以下假设：

  1. 不考虑提前还款。
  2. 借款将随机发生违约，违约后永远不再还款。例如12期借款在第4期违约，那么这笔借款最终前3期的本金和利息按还款计划归还，后9期的本金和利息归还的数额是0。
  3. 违约概率与已还款期数成正比。违约时间记为\(τ\)，对不违约的借款，\(τ=∞\)。一笔共有\(N\)期的借款第\(i\)期发生违约的概率为\(\mathrm{P}(τ=i) = PD×\frac{i+1}{N}\)。其中\(i=\{0,1,..(N-1)\}\)。

注意这里的违约概率是各违约时间出现的概率，不是各期后“状态转移”的概率。最后一期后，客户处于违约状态的概率为\(PD×\frac{N+1}{2N}\)

3. vintage曲线

假设借款的合同金额为\(S\)，分期期数是\(N\)，每期还款的本金金额近似相等。如果一直正常还款，那么第\(i\)期（\(i = 0,1..,(N-1)\)）还款前的余额（风险敞口“EAD”）近似为\(S × (1-\frac{i}{N})\)。如果第\(i\)期逾期，逾期余额将增加\(S × (1-\frac{i}{N})\)。

一笔借款在第\(i\)期还款前未逾期且在第\(i\)期逾期的概率是\(PD×\frac{i+1}{N}\)，那么第\(i\)期逾期余额增量的期望值是\(PD×\frac{i+1}{N} × S × (1-\frac{i}{N})\)。其中\(PD × S\)是常数，期望值变化趋势由\(\frac{i+1}{N}(1-\frac{i}{N})\)项决定。这导致单期逾期余额增量（vintage曲线的一阶差分）是一条二次曲线。具体来说是一条开口向下的抛物线，在最中间的还款期\(i=\frac{N-1}{2}\)时达到最大值。

对单期逾期余额增量求和可得vintage曲线：

\[ S×PD×(i+1) (i+2) (\frac{1}{2}-\frac{i}{3N})\frac{1}{N} \]

因此金额口径vintage曲线是一个向上倾斜的三次曲线，在\(i = N-1\)时，也就是在最后一期还款后达到最大值，最大值为\(PD×\frac{(N+1)(N+2)}{6N}\)。

4. 收益分析

假设年化利率为\(AR\)，单期利率\(R = \frac{AR}{12}\)，那么还款计划中第\(i\)期应还利息为\(R × S × (1-\frac{i}{N})\)。（参见AN3）

一笔借款在第\(i\)期还款日过后是逾期状态的概率是\(PD×\frac{(i+1)(i+2)}{2N}\)，因此第\(i\)期利息损失期望值是：

\[R × S × (1-\frac{i}{N}) × PD×\frac{(i+1)(i+2)}{2N}\]

\(R\)、\(S\)、\(PD\)、\(N\)均为常数，因此第\(i\)期利息收入损失期望值变化趋势由\((1-\frac{i}{N})\frac{(i+1)(i+2)}{2N}\)决定。

第\(i\)期的收入的期望为：

\[ \begin{aligned} Ŷ[i] = & S× (\frac{1}{N} - PD×\frac{i+1}{N}(1-\frac{i}{N}))\\ & + R × S × (1-\frac{i}{N})(1-PD×\frac{(i+1)(i+2)}{2N}) \end{aligned} \]

第\(i\)期时累计收入的期望为：

\[ \begin{aligned} Σ_{n=0}^{i}Ŷ[n] = & S×\frac{i+1}{N} - S×PD×(i+1) (i+2) (\frac{1}{2}-\frac{i}{3N})\frac{1}{N}\\ & + R×S×\frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\\ & - R×S×PD×(i+1)(i+2)(i+3)(\frac{1}{6}-\frac{i}{8N})\frac{1}{N} \end{aligned} \]

最后一期后，收入的期望\(Ŷ = Σ_{n=0}^{N-1}Ŷ[n]\)为：

\[ \begin{aligned} Ŷ = & S - S × PD × \frac{(N+1)(N+2)}{6N}\\ &+ S × R × \frac{N+1}{2} - S × R × PD × \frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{24N} \end{aligned} \]

收入期望也可以写为：

\[ Ŷ = S + S\frac{N+1}{2×12}(AR - C - 4×PD\frac{N+2}{N} - AR\frac{PD}{N}\frac{(N+2)(N+3)}{12}) \]

其中\(AR=12×R\)是年化利率，\(\frac{N+1}{2×12}\)计算的是久期，\(S × \frac{N+1}{2×12}\)是年日均未到期余额，\(C\)是以年日均未到期余额计价的其他成本。因此有年化收益率：

\[ γ = AR(1-\frac{PD}{N}\frac{(N+2)(N+3)}{12}) - C - 4×PD\frac{N+2}{N} \]

如果\(γ>0\)则盈利，如果\(γ<0\)则亏损。

其中\(\frac{PD}{N}\frac{(N+2)(N+3)}{12}\)是年化视角下的利息损失率。放款金额视角的本金损失率同时也是最终到达稳定状态后的vintage指标，等于\(PD×\frac{(N+1)(N+2)}{6N}\)。年化视角下的利息损失率和放款金额视角的本金损失率比值是\(\frac{N+3}{2(N+1)}\)。由此可知在\(N>1\)时，最终vintage指标相等的情况下（本金损失相等），随期数线性递增的违约率比AN3中恒定的违约率在利息损失上更小。

在盈亏平衡点\(γ = 0\)时可以解得：

\[ \begin{aligned} PD &= \frac{12N(AR-C)}{(N+2)((N+3)AR+48)}\\ AR &= \frac{12(C×N+4(N+2)PD)}{N^2PD+N(12-5PD)+6PD} \end{aligned} \]

对比AN3中违约均匀分布的情况：盈亏平衡时时，vintage曲线最终达到的水平是

\[ ν_1 = PD\frac{N+1}{2N}=\frac{3(AR - C)}{AR(N+2)+36}\frac{N+1}{2} \]

对于本文设定的违约密度随账龄增长的情况：盈亏平衡时，vintage曲线最终达到的水平是

\[ ν_2 = PD\frac{(N+1)(N+2)}{6N}=\frac{12N(AR-C)}{(N+2)((N+3)AR+48)}\frac{(N+1)(N+2)}{6N} \]

本文的盈亏平衡点与AN3的盈亏平衡点之比为：

\[ \frac{ν_2}{ν_1} = \frac{4(AR(N+2)+144)}{3(AR(N+3)+144)} ≈ \frac{4}{3} \]

因为年化利率\(AR\)通常比较小，\(AR×N\)通常不超过10，因此\(\frac{ν_2}{ν_1}\)约等于\(\frac{4}{3}\)。由此可知本文给出的盈亏平衡的最终vintage水平是AN3给出的\(\frac{4}{3}\)倍。