【应用笔记：考虑提前还款后的余额与盈亏平衡】
1. 前言
在AN1中，我们将放款量和余额通过久期联系起来了，但是没有考虑提前还款。在AN2中以最简单的形式讨论了信用风险对盈亏平衡的影响，同样也没有考虑提前还款。本文将介绍提前还款率对余额和盈亏平衡的影响。
2. 假设与前提条件
对借款信用风险，有以下假设：
- 不考虑逾期风险。借款人还款时间不晚于应还款时间。
- 借款人可以在任意时刻提前还款。还款顺序是利息->到期时间最近的本金->到期时间更远的本金。
- 利息收入完全由余额决定。不考虑提前还款违约金。因此无论如何还款，利息都按照同一年化利率对应的单利日利率，和资金实际占用期限计算，也就是说提前还款越多，会更大程度地减少支付的利息。
- 提前还款不改变未到期本金的应还款时间，也就是按照不缩期、不缩额处理。因为对比的始终是最初的还款计划。
3. 还款过程
首先定义提前还款金额的久期。提前还款将导致整笔借款的久期减少。一笔提前还款导致整笔借款久期减少的量，就是这笔提前还款的久期。等于以提前还款的时间为起点，被提前还款结清的还款计划的久期。
例如初始还款计划为第
30天、第60天、第90天分别还款100元，整个还款计划的久期为60天，约为0.166年。
- 对于第
20天发生的提前还款，如果还款本金是150元，那么还款后的还款计划变成第60天还50元、第90天还100元。- 第
20天的提前还款结清了第30天应还的100元本金（还剩10天到期）、第60天应还的50元本金（还剩40天到期）。- 所以第
20天的提前还款久期是(10×100+40×50)/(100+50) = 20天，约为0.055年。
提前还款导致整笔借款的久期相比原计划久期缩短，同时稳定放款时的年日均余额也下降。下降后的日均余额为：
年日均余额
= 年计划还款金额 × 计划久期 - 年提前还款金额 × 提前还款的久期
在考虑提前还款的余额下，利息收入是：
年实收利息
= 年日均余额 × 年化利率
= 年计划还款金额 × 计划久期 × 年化利率 - 年提前还款金额 × 提前还款的久期 × 年化利率
如果设定一段时间区间内金额口径的提前还款率为提前还款金额 / 计划还款金额，可得：
提前还款导致的余额减少比例
= 提前还款率 × (提前还款久期 / 计划久期)
考虑提前还款的借据平均久期
= 年日均余额 / 年计划还款金额
= 计划久期 - 提前还款率 × 提前还款久期
需要注意的是，对于单笔借款的特定一期，提前还款率决定了提前还款久期。例如100%的提前还款率表示也结清了下个月的应还本金，就可以确定这笔提前还款的久期是1/12（以年为单位的一个月时间），200%的提前还款率表示结清了后续2个月，提前还款久期是2/12。
但对于大量借款的资产组合，一个时间窗口内的提前还款率和提前还款久期是相互独立的（提前还款久期不变，提前还款的人多，提前还款率会上升，同样提前还款久期上升，但提前还款的人减少，提前还款率可以保持不变）。
4. 提前还款对盈亏平衡点的影响
对于AN2中得出的盈亏平衡点（其中年化损失率 = 坏账率 / 久期）：
年度净收益期望值
= 年日均未到期余额 × [年化利率 × (1 - 坏账率) - 年化损失率 - 每单位未到期余额的成本]
= 0
如果加入提前还款，首先年日均未到期余额将下降，由年计划还款金额 × 计划久期变为年计划还款金额 × (计划久期 - 提前还款率 × 提前还款久期)。
因为对应的放款量不变，平均余额下降，年化损失率将由坏账率 / 计划久期变为坏账率 / (计划久期 - 提前还款率 × 提前还款久期)
盈亏平衡点变为：
年度净收益期望值
= 年日均未到期余额 × [年化利率 × (1 - 坏账率) - 坏账率 / (计划久期 - 提前还款率 × 提前还款久期) - 每单位未到期余额的成本]
= 0
其中每单位未到期余额的成本的“单位”现在是考虑了提前还款后变得更低的余额。
因为存在提前还款时，提前还款率 × 提前还款久期 > 0，所以盈亏平衡时的坏账率比不存在提前还款时更小。