【应用笔记：vintage曲线为什么斜率逐渐变小，像开口向下的抛物线左半边一样？】

1. 前言

在AN2中，对借款人的违约行为的假设是最简单的：借款人或者完全不违约，或者整笔借款所有本金和利息均不偿还。如果沿用这一假设，整个客群的金额口径vintage曲线将是一条水平线，在第一期后就达到最大值。

现实中的金额口径vintage曲线不是水平线，而是一条斜线。在早期，vintage逐渐增大，曲线上扬，后期曲线逐渐变平。本文将展示对借款人违约行为做另一种比较简单的假设，可以解释现实中金额口径vintage曲线的形状。

2. 假设与前提条件

对借款信用风险，有以下假设：

  1. 不考虑提前还款。
  2. 借款有\(PD\)的概率发生违约，违约的时间在各期中均匀分布，违约后永远不再还款。例如12期借款在第4期违约，那么这笔借款最终前3期的本金和利息按还款计划归还，后9期的本金和利息归还的数额是0。

3. 第一条抛物线：vintage曲线

假设借款的合同金额为\(S\)，分期期数是\(N\)，每期还款的本金金额近似相等。如果一直正常还款，那么第\(i\)期（\(i = 0,1..,(N-1)\)）还款前的余额近似为\(S × (1-\frac{i}{N})\)。如果第\(i\)期逾期，逾期余额将增加\(S × (1-\frac{i}{N})\)。

一笔借款在第\(i\)期还款前未逾期且在第\(i\)期逾期的概率是\(\frac{PD}{N}\)（注意不是未逾期的借款变为逾期借款的条件概率），那么第\(i\)期逾期余额增量的期望值是\(\frac{PD}{N} × S × (1-\frac{i}{N})\)。其中\(\frac{PD}{N} × S\)是常数，期望值变化趋势由\(1-\frac{i}{N}\)项决定。这导致单期逾期余额增量（vintage曲线的一阶差分）随期数增加线性减少，所以累计的逾期余额曲线是一条二次曲线，也就是抛物线。

对单期逾期余额增量求和可得\(\frac{PD}{N} × S × \frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\)，因此金额口径vintage曲线是一个向下开口的抛物线，在早期斜率较高，然后斜率越来越平缓。在\(i = N-1\)时，也就是在最后一期还款后达到最大值，最大值为\(\frac{PD × (N+1)}{2N}\)。

下图展示了不同期限（\(N\)）、不同违约概率（\(PD\)）的金额口径vintage曲线。实线是按照这个公式画出的抛物线，假设了每期还款本金相等。虚线是按照等额本息还款方式的实际每期本金计算。可见等额本息曲线在等额本金曲线上方。

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4. 第二条抛物线：应收利息

假设年化利率为\(AR\)，单期利率\(R = \frac{AR}{12}\)，那么还款计划中第\(i\)期应还利息为\(R × S × (1-\frac{i}{N})\)，求和可得累计应收利息是\(R × S × \frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\)，曲线形状和vintage曲线一样。

对于等额本息还款方式，利息收入曲线的形状也和第3节图中的虚线一样，因此也可以看出，等额本息还款支付的利息金额大于等额本金还款。

5. 第三条抛物线：单期利息收入损失

金额口径vintage曲线只代表了本金损失。除了本金损失外，逾期还将导致预期的利息收入无法实现，即利息收入损失。

一笔借款在第\(i\)期还款日过后是逾期状态的概率是\(PD × \frac{i+1}{N}\)，因此第\(i\)期利息损失期望值是：

\[R × S × (1-\frac{i}{N}) × PD × \frac{i+1}{N}\]

\(R\)、\(S\)、\(PD\)、\(N\)均为常数，因此第\(i\)期利息收入损失期望值变化趋势由\((1-\frac{i}{N})\frac{i+1}{N}\)决定。这是一个二次函数，是开口向下的抛物线。但是和vintage曲线在最后一期达到最大值不同，单期利息损失的最大值在\(i = \frac{N-1}{2}\)。因此利息收入损失在最开始几期较小，在中间最大，在最后几期也较小。

下图展示了不同期限（\(N\)）下的\((1-\frac{i}{N})\frac{i+1}{N}\)曲线。实线是按照上面的公式画出的抛物线，假设了每期还款本金相等。虚线是按照等额本息还款方式的实际每期本金计算。等额本息还款的单期利息收入损失曲线也在等额本金的曲线上方，并且差异主要在中后期变得明显，因为在早期两种还款方式的每期还款前余额的差异比后期小。

  • =

6. 实际收入曲线

对单期利息损失求和可得到累计利息损失曲线，求和二次曲线的结果是一条三次曲线：

\[R × S × PD × (i+1) (i+2) (\frac{1}{2}-\frac{i}{3N})\frac{1}{N}\]

按还款计划正常还款的金额减期望本金损失和利息损失，就是一笔借款期望的实际收入。这里本金损失按照逾期余额计算。只要借款逾期，剩下的余额无论是否到期都计入逾期本金。这样一来，到期未归还的本金只占逾期本金的一部分，剩余未到期的部分也计入逾期余额。但是逾期余额需要以贷款减值准备覆盖，所以本金损失按照逾期余额作为损失计算，而不是使用已到期但未归还的本金金额。

按还款计划正常还款的累计本金大致为一条一次曲线，也就是直线：\(S×\frac{i+1}{N}\)（如果严格计算等额本息还款方式，累计的应还本金加利息是一条直线）。

综合起来，第\(i\)期的收入的期望为：

\[ \begin{aligned} Ŷ[i] = & \frac{S}{N} (1 - PD × \frac{i+1}{N})\\ & + R × S × (1-\frac{i}{N})(1-PD × \frac{i+1}{N}) \end{aligned} \]

第\(i\)期时累计收入的期望为：

\[ \begin{aligned} Σ_{n=0}^{i}Ŷ[n] = & S×\frac{i+1}{N} - S×\frac{PD}{N}×\frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\\ & + R×S×\frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\\ & - R×S×PD×(i+1)(i+2)(\frac{1}{2}-\frac{i}{3N})\frac{1}{N}\\ = & S×\frac{i+1}{N} + S×(R-\frac{PD}{N})\frac{(i+1)(2N-i)}{2N}\\ & - S×R×PD×(i+1)(i+2)(\frac{1}{2}-\frac{i}{3N})\frac{1}{N} \end{aligned} \]

最后一期后，收入的期望\(Ŷ = Σ_{n=0}^{N-1}Ŷ[n]\)为：

\[ Ŷ = S - S × PD × \frac{N+1}{2N} + S × R × \frac{N+1}{2} - S × R × PD × \frac{(N+1)(N+2)}{6N} \]

其中第一项\(S\)为应还本金，第二项\(S × PD × \frac{N+1}{2N}\)为本金损失，第三项\(S × R × \frac{N+1}{2}\)为应收利息，第四项\(S × R × PD × \frac{(N+1)(N+2)}{6N}\)为利息损失。

也可以写为：

\[Ŷ = S + S × \frac{N+1}{2×12} × (AR - 12×\frac{PD}{N} - AR×\frac{PD}{N}×\frac{N+2}{3})\]

如果考虑其他以年日均未到期余额计价的其他成本C，收入期望为：

\[Ŷ = S + S × \frac{N+1}{2×12} × (AR - C - 12×\frac{PD}{N} - AR×\frac{PD}{N}×\frac{N+2}{3})\]

其中\(AR=12×R\)是年化利率，\(\frac{N+1}{2×12}\)计算的是久期，\(S × \frac{N+1}{2×12}\)是年日均未到期余额，因此有年化收益率：

\[γ = AR - C - 12×\frac{PD}{N} - AR×\frac{PD}{N}×\frac{N+2}{3}\]

如果\(γ>0\)则盈利，如果\(γ<0\)则亏损。

在盈亏平衡点\(γ = 0\)时可以解得：

\[ \begin{aligned} \frac{PD}{N} &= \frac{3(AR - C)}{AR(N+2)+36}\\ AR &= \frac{3(12PD + C×N)}{PD(N+2)-3N} \end{aligned} \]

下图展示了各期限（\(N\)）下，年化利率（\(AR\)）对应的盈亏平衡违约概率。其中\(\frac{PD}{N}\)就是第一期还款情况表现后的vintage指标，\(PD\frac{N+1}{2N}\)是最后一期后风险完全表现的金额口径vintage指标。实线为根据本节展示的\(γ\)表达式计算的盈亏平衡点，对应等额本金还款方式。细虚线为根据AN2提供的粗略公式计算的盈亏平衡点（等额本金）。粗虚线是等额本息还款方式的下的盈亏平衡点，可见等额本息的曲线在等额本金的下方，表示能容忍的违约率比等额本金小，但是这个差值极小。

  • =
  • Y轴显示：||

7. 违约概率的无差异曲面

下面将放宽借款人违约行为的假设，只设定一笔借款在第\(i\)期还款前未逾期且在第\(i\)期逾期的概率\(PD[i] > 0\)，不再假设对于所有\(i∈[0,N-1)\)，\(PD[i]\)均相等。

按照以上定义的\(PD[i]\)，如果一笔借款在第\(τ\)期发生逾期，称这笔借款的逾期时间为\(τ\)，那么对任意一笔借款，逾期时间\(τ\)小等于\(T\)的概率\(\mathrm{P}(τ≤T)=Σ_{n=0}^{T} PD[n]\)，逾期时间大于\(T\)，也就是能正常还款到第\(T\)期的概率为\(1-Σ_{n=0}^{T} PD[n]\)。下面来寻找使最终收益不变的各期违约概率\(PD[i]\)的无差异曲面。

第\(i\)期的逾期余额增量是\(PD[i] × S × (1-\frac{i}{N})\)。第\(i\)期应还利息是\(R × S × (1-\frac{i}{N})\)，一笔借款在第\(i\)期还款日过后是逾期状态的概率是\(Σ_{n=0}^{i} PD[n]\)，利息损失是\(R × S × (1-\frac{i}{N}) × Σ_{n=0}^{i}{PD[n]}\)，那么单期的还款本金减当期逾期余额增量加实还利息，也就是单期实际收入等于：

\[ \begin{aligned} Ŷ[i] = & \frac{S}{N} - PD[i] × S × (1-\frac{i}{N})\\ & + R × S × (1-\frac{i}{N})(1-Σ_{n=0}^{i}{PD[n]})\\ = & \frac{S}{N} + S × (1-\frac{i}{N}) (R - PD[i] - R × Σ_{n=0}^{i}{PD[n]}) \end{aligned} \]

最终全部收益为\(Ŷ = Σ_{i=0}^{N-1}Ŷ[i]\)。

对\(Ŷ\)求导可得：

\[ \begin{aligned} \frac{∂Ŷ}{∂PD[i]} &= -S × (1-\frac{i}{N}) - S × R×Σ_{j=i}^{N-1}((1-\frac{j}{N}))\\ &= -S × (1-\frac{i}{N}) - S× R× \frac{(N-i+1) (N-i)}{2N}\\ \end{aligned} \]

容易发现\(|∂Ŷ/∂PD[i]|\)随期数\(i\)增加而减小，其中本金损失部分随期数增加线性减小，利息损失部分随期数增加以二次方的速度减小。这代表逾期发生在早期导致的损失比逾期发正在晚期导致的损失大。

记\(γ[i] = 1-\frac{i}{N}+R× \frac{(N-i+1) (N-i)}{2N}\)，那么\(∂Ŷ/∂PD[i] = -S×γ[i]\)

\(γ[i]\)是\(Ŷ\)以下展开式的系数：

\[ Ŷ = S × (1-γ[0]PD[0]-γ[1]PD[1]-...-γ[N-1]PD[N-1]) \]

下图展示了各种期限（\(N\)）和年化利率（\(AR\)）下，\(γ\)随账龄（\(i\)）变化的情况。可见本金损失占主导，导致\(γ\)几乎是一条斜向下的直线。其中实线是等额本金还款的情况，\(γ\)根据上面的公式计算。虚线是等额本息还款的情况，始终位于等额本金曲线上方，说明等额本息还款方式的收益波动对风险更敏感，但在较低利率下和等额本金还款的情况差异不大。

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将\(PD[i]\)看作\(N\)维空间中的坐标，\(\mathrm{d}Ŷ = -S×Σ_{i=0}^{N-1}{γ[i]\mathrm{d}PD[i]} = 0\)定义了由最终损失\(k\)作为参数的一系列超平面\(Σ_{i=0}^{N-1}{γ[i]PD[i]} = k\)。\(PD[i]\)在同一个超平面上移动时，将保持\(Ŷ\)恒定不变，这个超平面就是违约概率的无差异曲面。