AN2 - 年化损失率

【应用笔记：年化损失率及其在收益率计算中的应用】

1. 前言

在什么风险水平下，一笔分期贷款的盈利期望值是大于0的呢？用来回答这个问题的衡量风险水平的参数，通常被称作年化损失率。本文通过推导借款的收益期望值介绍年化损失率的性质和应用。

2. 假设与前提条件

根据久期的定义，一笔分期业务借款的利息收入是：

放款金额 × 年化利率 × 久期

此处久期以年为单位，对于分12期等额本息还款的借款，久期约为0.56。

对于借款的风险，有以下重要假设，是下文所有结论的基础：

违约行为只有一种：整笔借款所有本金和利息息均不偿还。其他违约情况，例如提前还款或者只还了第一期，后面不再还款的情况，都不会出现。借款或者一直按期在还款日正常还款，或者一直没有收到任何还款。

这种情况下，风险水平由坏账率 = 不还款的借款金额合计 / 所有借款金额合计描述。也就是说，如果总放款量为10000元，不还款的借据放款金额合计为500，则坏账率是0.05。

2. 收益分析

不违约的借款的收入是放款金额 × 年化利率 × 久期。对于违约的贷款，利息收入是0。所以，考虑违约风险后借款利息收入的期望值是：

放款金额 × 年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率) + 0 × 坏账率
 = 放款金额 × 年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率)

违约的贷款本金会全部损失，损失的期望值（以负数计）为：

- 放款金额 × 坏账率

利息收入和本金损失期望值相加，即为考虑违约风险的净收益期望值：

净收益期望值
 = 放款金额 × 年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率) - 放款金额 × 坏账率
 = 放款金额 × [年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率) - 坏账率]

在中括号里的部分是放款金额口径的收益率，是每单位放款量盈利金额的期望值。这个收益率等于0时的坏账率是盈亏平衡的风险水平。

3. 应用年化损失率

在净收益期望值表达式中引入年化损失率 = 坏账率 / 久期：

净收益期望值
 = 放款金额 × [年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率) - 坏账率]
 = (放款金额 × 久期) × [年化利率 × (1 - 坏账率) - (坏账率 / 久期)]
 = (放款金额 × 久期) × [年化利率 × (1 - 坏账率) - 年化损失率]

根据AN1，如果每日放款金额相等，余额稳定时年日均余额 = 年度总放款金额 × 久期。这个年日均余额是不考虑风险因素的，不考虑有坏账存在。实际上，放款量恒定时，在一定的坏账率下，余额不会保持稳定，而是随着坏账余额不断堆积而线性增长。此时根据久期和放款量求得的余额，是“表内余额” = 总余额 - 逾期余额。放款量恒定时，虽然总余额在不断增长，但是总余额扣除逾期余额剩下的未到期余额，也就是“表内余额”，仍然保持恒定，等于不考虑风险因素、不存在坏账时的总余额。因此：

年度净收益期望值
 = 年日均“表内余额” × [年化利率 × (1 - 坏账率) - 年化损失率]

在中括号里的部分是“表内余额”口径的收益率，这个收益率等于0时的坏账率是盈亏平衡的风险水平。因为放款金额口径和“表内余额”口径的收益率只相差一个由久期确定的系数，因此两种口径计算的盈亏平衡点相等。

通过以上分析可知，年化损失率代表的是每单位年日均“表内余额”产生的全年累计本金损失。

4. 加入其他成本项

上文展示了收益率的两种口径，即放款金额和“表内余额”口径，如果计算盈亏平衡点时需要将其他成本（如融资成本）也纳入计算，需要使用对应口径的成本系数：

净收益期望值
 = 放款金额 × [年化利率 × 久期 × (1 - 坏账率) - 坏账率 - 每单位放款金额的成本]

年度净收益期望值
 = 年日均“表内余额” × [年化利率 × (1 - 坏账率) - 年化损失率 - 每单位“表内余额”的成本]

融资成本通常以每单位余额的成本计算，而支付手续费成本通常以每单位放款金额的成本计算。