【应用笔记：计算平稳放款所能达到的余额（余额 = 全年放款量 × 久期）】

1. 前言

分期贷款业务中，余额是不仅是一个重要的经营指标，实质上更是利息收入的直接来源。当余额保持较为稳定时，如果风险控制得当，就能保证稳定的收益。除此之外，恒定的余额也是各类业务状况中最简单、最容易理解，也方便计算各种指标的情况。

余额的增加和减少与放款量有直接关系，如果不考虑风险因素，在每日放款量不变，且放款借据的期限结构也不变的情况下，显然余额从0开始增长一段时间后，会达到一个稳定值。本文将推导如何计算这个余额的稳定值。

2. 假设与前提条件

本文假设每日放款总金额相同，借款可以有不同的金额和分期期数（期限），所有借款每月还一次款，不存在提前还款和逾期等违约情况。单日放款借款的期限和金额分布都相同。

3. 稳定状态的性质

单日放款借款的期限和金额分布都相同，所以余额达到稳定值时，放款的资产组合中，各种分期期数（期限）的借据形成的余额直接相加，就等于总余额。因此只需考虑如何计算一种分期期数的余额，放款资产组合形成的总余额，可以通过各种借据的余额求和得到。对于资产组合的相关问题在附录2中讨论。

余额稳定状态下有几个重要性质：

  1. 日放款总额 = 日还款本金总额
  2. 某日还款的所有期限为m，合同金额（放款金额）为s的借款中，账龄为n（1≤n≤m）的借据出现的概率相等，且正比于放款这种借据的概率。例如对于1月1日发生还款的所有期限为12期，合同金额100元的借款，当日正在还款第1期的借款的期望数量，和当日正在还款第12期的借款期望数量相等，并且正比于每日放款借据中出现金额100元期限12期借款的概率。因为(m,s)这类借款在某日还款第n期的数量，是n期前放款数量，这个放款数量的期望值是恒定的。

根据性质2，容易看出余额从0达到稳定值的时间是放款借款的最大期限。

4. 余额与日还款量的关系

下面正式开始计算余额的期望值。我们首先考虑总贷款余额和每日还款本金总额的关系：

单日还款本金总额 = 单日存量借据数量 × 存量借据单日发生还款概率 × 借据单期还款本金期望值……(3)

其中：

单日借据数量 = 总余额 / 单笔借据余额期望值……(4)

整理可得：

总余额 = 单日还款本金总额 × (单笔借据余额期望值 / 借据单期还款本金期望值) / 存量借据单日发生还款概率……(5)

上式中：

存量借据单日发生还款概率 = 1 / 平均还款间隔 = 12/365 = 0.032877

合同期限为m，金额为s的借据单期还款本金期望值为s/m

现在还需求出单笔借据余额期望值。

对于等额本金还款方式，余额期望值等于s/2 + s/(2m)，资产组合的余额期望值为：

对于等额本息的还款方式，余额期望值等于s[(1+r)^m/((1+r)^m-1)-1/(rm)]，其中r为单期的利率，对于年化利率R，r = R/12，证明详见附录1。

现在可以根据公式(5)计算日放款量对应的余额了。下面提供两个计算示例。

4.1. 示例1

假设只有一种12期等额本息还款，年化利率18%的借款，每日放款量1,000,000元，那么余额稳定时，单日还款本金总额也是1,000,000元。不失一般性地我们将合同金额的每1元看作一笔单独的借据。

每1元放款金额单期还款本金期望值为1/12 = 0.083333

每1元放款金额对应的余额望值为0.556444

每1元放款金额单日发生还款概率为12/365 = 0.032877

余额稳定时可达到1000000 * (0.556444 / 0.083333) / 0.032877 = 203,101,095.28

4.2. 示例2

假设有两种借款，分别是12期年化利率18%等额本息还款、6期年化利率10%等额本息还款。12期借款每日放款金额为700,000元，6期借款每日放款金额300,000元，合计1,000,000元。

余额稳定时，12期的余额为700,000 * (0.556444 / 0.083333) / 0.032877 = 142,171,434.72

合计174,329,794.52

5. 余额与久期的关系

上一节推导出了日放款量（还款量）和余额的关系，现在将日放款量（还款量）换为年放款量（还款量）：

全年还款本金总额 = 单日还款本金总额 × 365

注意到存量借据单日发生还款概率为12/365，借据金额记为s，期数记为m，等式（5）可以重写为：

总余额
 = 单日还款本金总额 × (单笔借据余额期望值 / 借据单期还款本金期望值) / (12 / 365)
 = (单日还款本金总额 × 365) × [(单笔借据余额期望值 / 12) / 借据单期还款本金期望值]
 = 全年还款本金总额 × [(单笔借据余额期望值 / 12) / (s / m)]
 = 全年还款本金总额 × [(单笔借据余额期望值 × (m / 12)) / s]
 = 全年还款本金总额 × [(Σ(第i期还款金额*i/m) × (m / 12)) / s]
 = 全年还款本金总额 × Σ[(第i期还款金额/s)*(i/12)]

上式中求和的部分（Σ[……]）就是久期的定义（以年为单位），因此可得：

总余额 = 全年还款本金总额 × 久期

6. 延申应用

稳定放款情形下，最终的稳定余额与放款量的关系可以表示为余额 = 全年放款量 × 久期。因此余额简单地随放款量增大线性增长。但是久期取决于放款期限、利率和还款方式。

下图展示了久期在不同利率下随放款期限增长而增大。下图中还款方式均为等额本息，可见等额本息利率升高，会导致略大的余额沉淀。0利率的情形和等额本金还款等价，等额本金借款的余额沉淀不受利率变化影响。

下图展示了久期随放款期限结构变化的情况，一条线是资产组合中包含12期和3期两种期限，另一条线是12期和6期两种期限，利率均为18%。横轴是放款金额中12期借款的比例。

附录1：等额本息平均余额

借款合同金额为S，期数为M，年化利率为R，每期利率为r = R/12，每期还款金额为x。

第0期（MOB0）的余额为S

第1期（MOB1）的余额为S(1+r)-x

第2期（MOB2）的余额为[S(1+r)-x](1+r)-x

第3期（MOB3）的余额为([S(1+r)-x](1+r)-x)(1+r)-x = S(1+r)^3-x[1+(1+r)+(1+r)^2]

依此类推，第n期（MOBn）的余额为

S(1+r)^n - x[(1+r)^n-1]/r
	= [S-(x/r)](1+r)^n + (x/r)

平均余额为

E = [S-(x/r)][(1+r)^M-1]/(rM) + x/r

根据第M期（MOBM）后结清，此时余额为0的条件，可以解出每期还款本息合计金额：

x = rS(1+r)^M/[(1+r)^M-1]

将x插入平均余额的公式可得

E	= [S-(S(1+r)^M/[(1+r)^M-1])]×[(1+r)^M-1]/(rM)
		+ S(1+r)^M/[(1+r)^M-1]
	= S[(1+r)^M-1]/(rM) - [S(1+r)^M]/(rM)
		+ [S(1+r)^M]/[(1+r)^n-1]
	= S[(1+r)^M/((1+r)^M-1)-1/(rM)]

附录2：资产组合的相关概率问题

下面将合同期限为m，金额为s的借据记为(m,s)型借据。所有可能放款的借据类型为Ω = {(Mi,Si)}。放款各种期限与金额借款的概率记为Pr放款(m,s)。

根据第3节中的性质(2)，单日发生还款的借款中，(m,s)借据出现的概率Pr还款(m,s)正比于放款的概率，同时正比于还款期数m，因此：

Pr还款(m,s) = m × Pr放款(m,s) / Σi[Mi × Pr放款(Mi,Si)]